双边滤波器

关于双边滤波的理论介绍

背景

使用OpenCV时，[OpenCV的官方文档](OpenCV: Smoothing Images)中提到了如下几种滤波器：

前面三种到在课堂上有接触，但最后一种并没有听说过，于是便记录以下这种滤波器的特性

高斯滤波器原理与均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素均值作为输出，不过在均值滤波器中，模板系数均为相同的1，但高斯滤波器具有高斯函数图像的特性，中间高，四周逐渐减小，反映到滤波器上就是距离中心越近的模板系数越大，越远的模板系数越小。

α-截尾均值滤波器则与中值滤波器较为相似，其思想是将模板窗中的像素进行排序后，取消百分率为α的最小值与最大值，之后剩下的像素均值作为模板中心像素值。

可见，高斯滤波器考虑的是像素距离（空间域）的差别，而α截尾均值滤波器则考虑的是值域的差别。

双边滤波器则将上述两种滤波器的想法融合，计算领域像素的加权组合：

$g(i,j) = \frac{\sum_{k,l} f(k,l)w(i,j,k,l)}{\sum_{k,l} w(i,j,k,l)}$

其中权重w的计算既考虑了像素距离差别，又考虑了值域的差别。w由如下两部分组成：

$d(i,j,k,l) = exp(-\frac{(i-k)^2 + (j - l)^2}{2\sigma ^2_d})$

$r(i,j,k,l) = exp(-\frac{|f(i,j) - f(k,l)|^2}{2\sigma ^2_r})$

即w的值为：

$w(i,j,k,l) = d(i,j,k,l) \times r(i,j,k,l)$

可见在加入r(i,j,k,l)后，滤波器具备了衡量像素相似程度的考量，即插值越大的像素，权值越小，对中心像素的影响也就越小。进而可以达到平滑图像的同时尽可能的保留边缘信息。